تبلیغات
سوسا وب تولز -ابزار وبلاگ
riazi - حد (ریاضی)
riazi
نوشته شده در تاریخ چهارشنبه 5 بهمن 1390 توسط سجاد کاجی
حد در ریاضیات مفهومی است برای بیان رفتار تابع، به هنگام نزدیکی متغیر تابع به مقدار معلومی مثل a. در واقع حد نوعی میل کردن است. مفهوم آن یکی از اساسی‌ترین مفاهیم حساب دیفرانسیل و انتگرال است. در ریاضیات، موضوع حد، به منظور بیان رفتارهای یک تابع به کار گرفته می شود. همچنین به بررسی این رفتار در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت می پردازد. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال و نیز در آنالیز ریاضی برای تعریف مشتق و نیز مفهوم پیوستگی مورد استفاده قرار می گیرد. ریاضیدان ها حتی پیش از اینکه مفهوم دقیق تر حد را ارائه کنند، در مورد آن موضوع مجادله های زیادی کردند. یونانی ها در عصر باستان درکی از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از محیط چند ضلعی های منتظم محاط در دایره به شعاع واحد، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست می آورد. در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس انواع مفاهیم حد برای کسب مساحت شکل های گوناگون استفاده می شد.

تعریف


روش اثبات اپسیلون و دلتا مشهور است که بار اول توسط ریاضیدان آلمانی کارل ویستراس عنوان شد[منبع توسط نویسنده یاد نشده]. با استفاده از آن حد را چنین تعریف می‌کنیم:

Epsilondelta.jpg

گوییم f(x) در نقطه‌ای مانند x0 دارای حد L است اگر به ازای هر عدد مثبت \epsilon عدد مثبتی مثل δ موجود باشد به طوری که اگر 0 < | xx0 | < δ، آنگاه|f(x)-L| <\epsilon.

به عبارت دیگر برای هر  \varepsilon\ >0 یک  \delta\ >0 وجود داشته باشد، که برای هر x0 با خاصیت  |x-x_0|< \delta\ ، داشته باشیم | f(x) − L | < ε.

برای تعریف غیرصوری باید گفت حد تابع f(x) ،L است اگر وقتی x \to a، f(x) به حد L نزدیک بشود، یا f(x) در aL است، اگر هنگامی که x به a میل می‌کند، f(x) به L نزدیک شود. دارای حد


مثال

اثبات \lim_{x \to 0}\sqrt{x} = 0  :

برای هر  \varepsilon\ >0 یک  \delta\ >0 وجود دارد به شکلی که:

 |\sqrt{x}-0|< \varepsilon\ اگر 0 < x < δ

یا  \sqrt{x}< \varepsilon\ اگر 0 < x < δ

با گرفتن جذر هر دو سمت می‌توانیم عبارت قبلی را به شکل زیر بنوسیم:

 \sqrt{x}< \epsilon^2 اگر 0 < x < δ

بنا بر این \delta \le \epsilon^2

و این \lim_{x \to 0}\sqrt{x} = 0 را اثبات می‌کند.

حد تابع 

فرض کنید f(x)‎ تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت

 \lim_{x \to c}f(x) = L

بدین معناست که f(x)‎ به ازای xهای نزدیک به c به L میل می‌کند. توجه داشته باشید که این عبارت می‌تواند صحیح باشد حتی اگر f(c) \neq L باشد. دو مثال زیر مساله را روشن‌تر بیان می‌کند.  f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} است و به x مقدار ۲ را می‌دهیم. در این مثال x در ۲ تعریف شده و مقدار تابع در آن برابر حدش ۰٫۴ است:

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 \Rightarrow 0.4 \Leftarrow 0.3998 0.3988 0.3882

اگر به x مقدار ۲ را بدهیم f(x)‎ برابر ۰٫۴ خواهد شد و داریم \lim_{x\to 2}f(x)=0.4. در این مثال f(c) = \lim_{x\to c} f(x) است اما این عبارت همواره صحیح نیست، برای مثال:

g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\  \\ 0, & \mbox{if }x=2. \end{matrix}\right.

حد g(x)‎ به ازای x برابر ۲ مساوی ۰٫۴ می‌باشد اما \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2) و g در ۲ پیوسته نیست.

در مثالی دیگر فرض می کنیم که تابع در x = c تعریف نشده باشد:

 f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}

اگر به x مقدار 1 را بدهیم تابع تعریف نشده اما حد آن برابر 1 است:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 \Rightarrow تعریف نشده \Leftarrow 2.001 2.010 2.10





قالب وبلاگ
m