تبلیغات
سوسا وب تولز -ابزار وبلاگ
riazi - مشتق 3
riazi
نوشته شده در تاریخ جمعه 16 دی 1390 توسط سجاد کاجی

زاویهٔ بین دو تابع 

زاویهٔ بین خط و منحنی 

زاویهٔ بین یک خط و منحنی عبارت است از زاویهٔ بین مماس رسم شده بر منحنی در نقطهٔ تقاطع با خط. برای تعیین زاویهٔ بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم:

  1. خط را با منحنی قطع داده و مختصات نقطهٔ تقاطع را بدست می‌آوریم.
  2. از منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویهٔ خط مماس بر منحنی را در نقطهٔ تقاطع می‌یابیم.
  3. با کمک رابطهٔ \tan \alpha = \left | \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right | زاویهٔ بین خط مماس و منحنی را بدست می‌آوریم.

زاویهٔ بین دو منحنی

برای یافتن زاویهٔ بین دو منحنی، ابتدا آن‌ها را با هم تلاقی داده و طول نقطهٔ تلاقی را می‌یابیم. سپس از دو منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویه‌های بدست آمده را در رابطهٔ \tan \alpha = \left | \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right | قرار می‌دهیم تا زاویهٔ بین دو منحنی بدست آید.

زاویۀ بین خط و منحنی در نقطۀ تلاقی
زاویۀ بین دو منحنی با ضریب زاویه‌های m_1 \! و m_2 \! در نقطۀ تلاقی

نقاط بحرانی 

نقطهٔ c \in D_f \! را نقطهٔ بحرانی تابع f \! گویند هرگاه f'(c) = 0 \! یا f'(c) \! موجود نباشد. ابتدا و انتهای بازه، ریشه‌های مشتق، نقاط بازگشتی، زاویه‌دار، ناپیوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع محسوب می‌شوند.

در ضمن، اگر تابع f \! روی [a , b] \! تعریف شده باشد و نقطهٔ c \! درون این بازه، اکسترمم مطلق تابع روی این بازه باشد، آنگاه c \! نقطهٔ بحرانی f \! است. هر نقطهٔ اکسترمم نسبی f \! نقطهٔ بحرانی f \! نیز هست، در صورتیکه یک نقطهٔ بحرانی ممکن است نقطهٔ اکسترمم نسبی نباشد.

اگر تابع f \! روی بازهٔ (a , b) \! پیوسته باشد برای بدست آوردن مقادیر \max \! و \min \! مطلق ابتدا نقاط بحرانی را در بازه مشخص کرده و در تابع اصلی قرار می‌دهیم سپس \lim_{x \to a^{+}} f (x) \! و \lim_{x \to b^{-}} f (x) \! را نیز بدست می‌آوریم و با مقایسهٔ اعداد بدست آمده، اگر کم‌ترین یا بیش‌ترین مقدار مربوط به حدهای فوق باشد تابع فاقد \max \! یا \min \! مطلق است. در غیر این صورت \max \! یا \min \! مطلق را مشخص می‌کنیم.

اگر در بازهٔ فوق نقطه‌ای مثل c \! وجود داشته باشد که تابع در آن نقطه ناپیوسته باشد، می‌بایست \lim_{x \to c^{+}} f (x) \! و \lim_{x \to c^{-}} f (x) \! را نیز بدست آورد و مانند موارد بالا وجود \max \! یا \min \! را بررسی کرد.

تشخیص یکنوایی تابع 

در تابع پیوستهٔ f \!، برای هر x \in I \! اگر f'(x) > 0 \! آنگاه f \! روی I \! صعودی اکید است و اگر f'(x) < 0 \! آنگاه f \! روی I \! نزولی اکید است. ولی اگر f'(x) \ge 0 \! باشد، تابع f \! ممکن است صعودی غیر اکید یا صعودی اکید باشد و اگر f'(x) \le 0 \! باشد، تابع f \! ممکن است نزولی غیر اکید یا نزولی اکید باشد.

در این حالت برای تشخیص اکید یا غیر اکید بودن تابع f \! ریشه‌های مشتق را بدست می‌آوریم، اگر ریشه‌های مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غیر اکید است و در غیر این حالت صعودی اکید است.

اگر تابع f \! پیوسته نباشد، دامنهٔ تابع را به فاصله‌هایی که تابع در آن‌ها پیوسته است، تقسیم می‌کنیم و به کمک مشتق وضعیت یکنوایی تابع را در هر بازه مشخص می‌کنیم. سپس نقاط انتهایی هر بازه (یا حد انتهایی هر بازه) را با نقاط ابتدایی بازهٔ بعد (یا حد ابتدایی بازهٔ بعد) مقایسه می‌کنیم.

آزمون‌های مشتق 

آزمون مشتق اول

با فرض اینکه c \! نقطهٔ بحرانی تابع f \! است و c \in (a , b) \! و f \! روی (a , b) \! پیوسته و به جز احتمالاً در c \! مشتق‌پذیر باشد:

  1. اگر f' \! روی (a , c) \! مثبت و روی (c , b) \! منفی باشد، آنگاه f \! در c \! ماکزیمم نسبی دارد.
  2. اگر f' \! روی (a , c) \! منفی و روی (c , b) \! مثبت باشد، آنگاه f \! در c \! مینیمم نسبی دارد.
  3. اگر f' \! روی (a , c) \! و (c , b) \! هم‌علامت باشد، آنگاه f \! در c \! اکسترمم ندارد.

آزمون مشتق دوم

فرض کنید c \! نقطهٔ بحرانی تابع f \! و f'' \! موجود باشد:

  1. اگر f''(c) > 0 \! باشد آنگاه f \! در c \! دارای \min \! نسبی است.
  2. اگر f''(c) < 0 \! باشد آنگاه f \! در c \! دارای \max \! نسبی است.
  3. اگر f''(c) = 0 \! باشد آزمون بی‌نتیجه است.

جهت تقعر و نقطهٔ عطف 

اگر نمودار تابعی به صورت \smile \! باشد، تقعر آن به سمت بالاست. در این حالت منحنی بالای هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر f' \! صعودی اکید باشد و یا f'' \! روی بازهٔ I \! موجود و همواره مثبت باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار f \! روی این بازه رو به بالاست.

اگر نمودار تابعی به صورت \frown \! باشد، تقعر آن به سمت پایین است. در این حالت منحنی پایین هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر f' \! نزولی اکید باشد و یا f'' \! روی بازهٔ I \! موجود و همواره منفی باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار f \! روی این بازه رو به پایین است.

نقطهٔ عطف

اگر جهت تقعر نمودار f \! در نقطهٔ c \! تغییر کند و مماس نیز داشته باشد، آنگاه c \! را نقطهٔ عطف گویند. در بررسی نقطهٔ عطف تابع، سه شرط زیر باید برقرار باشد:

  1. f \! در c \! پیوسته باشد.
  2. f \! در c \! فقط یک مماس داشته باشد. (مایل، افقی یا قائم)
  3. جهت تقعر f \! در c \! تغییر کند.

پس برای یافتن نقاط عطف نمودار تابع کافی است، نقاطی که f'' \! در آن‌ها وجود ندارد یا برابر صفر است را تعیین و علامت f'' \! را قبل و بعد از این نقاط و نیز وجود خط مماس را در این نقاط بررسی کنیم.

عطف با مماس مایل
عطف با مماس افقی
عطف با مماس قائم

قاعدهٔ هوپیتال 

نوشتار اصلی: قاعده هوپیتال

از قاعدهٔ هوپیتال برای رفع ابهام \frac {0}{0} \! و \frac {\infty}{\infty} \! در حد استفاده می‌شود بطوریکه اگر f \! و g \! در x = a \! مشتق‌پذیر باشند و f (a) = g (a) = 0 \! آنگاه:

\lim_{x \to a} \cfrac {f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} \cfrac {f' (x)}{g' (x)} = L \!

اگر f \! و g \! در x = a \! از راست مشتق داشته باشد از قاعدهٔ هوپیتال برای وقتی x \to a^{+} \! می‌توان استفاده کرد و به همین ترتیب، اگر مشتق چپ داشته باشد برای x \to a^{-} \!.

بهینه‌سازی 

بسیاری از مسائلی که در علوم تجربی و ریاضیات مطرح می‌شوند، در جستجوی یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیممی هستند که یک تابع مشتق‌پذیر می‌تواند در دامنهٔ خاص اختیار کند و مشتق ابزار مناسبی برای یافتن این مقادیر است.

برای حل مسائل بهینه‌سازی لازم است ابتدا کمیت‌هایی مانند حجم، مساحت، فاصله و... که بیشترین یا کمترین مقدار آن مورد نیاز است، به صورت تابعی از متغیرهای دیگر نوشته شود و چنانچه معادلهٔ حاصل بیش از یک متغیر داشت با استفاده از فرضیات مسأله و ارتباط متغیرها با هم، معادله را به معادله‌ای با یک متغیر مستقل تبدیل کرد و در انتها به کمک مشتق، نقاط بحرانی را یافت، تا بتوان ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را مشخص کرد.

قواعد مشتق‌گیری 

در روابط زیر m \! ،c \! و p \! اعداد ثابت، y \! ،x \! ،v \! ،u \! ،t \! متغیر و e \! عدد نپر است.

توابع جبری 

  • \left ( c \right )' = 0 \!
  • \left ( u^m \right )' = mu^{m-1}u' \! (قاعدهٔ توان)
  • \left ( uvt \right )' = u'vt + v'ut + t'uv \! (قاعدهٔ حاصل‌ضرب)
  • \left ( \mid u \mid \right )' = \frac{uu'}{\mid u \mid} \!
  • \left ( \sqrt[m]{u} \; \right )' = \frac{u'}{m \sqrt[m]{u^{m-1}}}  \!
  • \left ( cu \right )' = cu' \! (قاعدهٔ ضریب ثابت)
  • \left ( u + v \right )' = u' + v' \! (قاعدهٔ مجموع)
  • \left ( \frac{u}{v} \right )' = \frac{u'v - v'u}{v^2} \! (قاعدهٔ خارج‌قسمت)
  • \left ( \sqrt{u} \; \right )' = \frac{u'}{2 \sqrt{u}}  \!
  • \left ( \sqrt[m]{u^p} \; \right )' = \frac{pu'}{m \sqrt[m]{u^{m-p}}}  \!

توابع مثلثاتی 

  • \left ( \sin u \right )' = u' \cos u \!
  • \left ( \tan u \right )' = u' (1 + \tan^2 u) \!
  • \left ( \sec u \right )' = u' \sec u \tan u \!
  • \left ( \cos u \right )' = - u' \sin u \!
  • \left ( \cot u \right )' = - u' (1 + \cot^2 u) \!
  • \left ( \csc u \right )' = - u' \csc^2 u \!
  • \left ( c \sin^m u \right )' = cmu' (\sin^{m - 1} u) (\cos u) \!
  • \left ( c \tan^m u \right )' = cmu' (\tan^{m - 1} u) (1 + \tan^2 u) \!
  • \left ( c \cos^m u \right )' = - cmu' (\cos^{m - 1} u) (\sin u) \!
  • \left ( c \cot^m u \right )' = - cmu' (\cot^{m - 1} u) (1 + \cot^2 u) \!

توابع معکوس مثلثاتی 

  • \left ( \arcsin u \right )' = \cfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}} \!
  • \left ( \arccos u \right )' = \cfrac{- u'}{\sqrt{1 - u^2}} \!
  • \left ( \arctan u \right )' = \cfrac{u'}{1 + u^2} \!
  • \left ( \arccot u \right )' = \cfrac{- u'}{1 + u^2} \!

توابع نمایی و لگاریتمی 

  • \left ( \log_a u \right )' = \frac{u'}{u \ln a} \!
  • \left ( a^u \right )' = u' a^u \ln a \!
  • \left ( \ln u \right )' = \frac{u'}{u} \!
  • \left ( e^u \right )' = u' e^u \!


قالب وبلاگ
m