تبلیغات
سوسا وب تولز -ابزار وبلاگ
riazi - مشتق 2
riazi
نوشته شده در تاریخ جمعه 16 دی 1390 توسط سجاد کاجی

پادمشتق 

اگر f \! تابعی پیوسته در بازهٔ I \! شامل نقطهٔ a \! باشد، آنگاه تابع F \! با دامنهٔ I \! و با ضابطهٔ:

F (x) = \int_a^x f(t)\, dt

تابع اولیه یا پادمشتق تابع f \! نامیده می‌شود. تابع F \! روی I \! مشتق‌پذیر است و برای هر x \in I \! داریم:

F'(x) = f (x) \!

اگر u (x) = \int_{g(x)}^{h(x)} f(t)\, dt آنگاه مشتق تابع u \! از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

u'(x) = g'(x) f(g(x)) - h'(x)f(h(x)) \!

مشتق جزئی 

نوشتار اصلی: مشتق جزئی

مشتق جزئی، پاره‌ای یا نسبی، به مشتق تابع چند متغیرهٔ f (x_1 , x_2 , \ldots , x_n) \! نسبت به یکی از متغیرها با ثابت در نظر گرفتن سایر متغیرها گفته می‌شود. مشتق جزئی را به جای \operatorname d \! با \partial \! نمایش می‌دهند که «دِل»، «دِر» و یا «پارتیال» خوانده می‌شود. برای مثال، مشتق جزئی تابع f (x , y) \! نسبت به x \! به صورت زیر نوشته می‌شود:

z = f (x , y) \; \Rightarrow \; \dfrac {\partial z}{\partial x} = \dfrac {\partial}{\partial x} f (x , y) \!

به طور کلی، حاصل حد زیر، در صورت وجود برابر مشتق جزئی تابع چند متغیرهٔ f \! نسبت به x_i \! در (x_1 , x_2 , \ldots , x_n) \! است:

\dfrac {\partial}{\partial x_i} f (x_1, x_2 , \ldots , x_n) = \lim_{h \to 0} \dfrac {f (x_1, \ldots , x_i + h, \ldots , x_n) - f (x_1 , \ldots , x_i , \ldots , x_n)}{h}

مشتق ضمنی 

نوشتار اصلی: مشتق ضمنی

در مقابل رابطهٔ صریح تابع به شکل کلی y = f (x) \!، رابطهٔ ضمنی آن بصورت f (x , y) = 0\! قرار می‌گیرد. برای محاسبهٔ مشتق توابع ضمنی دو روش کلی وجود دارد:

  • استفاده از قاعدهٔ زنجیری: در این روش، از طرفین رابطه نسبت به x \! مشتق می‌گیریم و با فاکتورگیری، y' \! را بدست می‌آوریم. (اگر بخواهیم مشتق را نسبت به x \! حساب کنیم آنگاه x'_x = 1 \! و y'_x = y' \! خواهد بود)
  • استفاده از مشتق جزئی: در این روش از رابطهٔ زیر استفاده می‌شود:
f (x , y) = 0 \; \Rightarrow \; y'_x = - \cfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x}}{\dfrac{\partial f}{\partial y}} = - \dfrac{\partial_x f (x , y)}{\partial_y f (x , y)} \!

مشتق جهت‌دار 

نوشتار اصلی: مشتق جهت‌دار

مشتق جزئی تابع f (x , y , z) \! میزان تغییرات f \! را در امتداد محورهای مختصات به دست می‌دهد در حالیکه مشتق جهت‌دار، سویی یا جهتی، میزان تغییرات f \! را در امتداد یک بردار دلخواه در فضا حساب می‌کند. اگر f \! در همسایگی نقطهٔ P_0 = (x_0 , y_0 , z_0) \! تعریف شده باشد و \vec{l} \! برداری شامل نقطهٔ P_0 \! باشد، مشتق جهت‌دار f \! در P_0\! به صورت زیر محاسبه می‌شود:

\dfrac {\partial f (P_0)}{\partial l} = \dfrac{\partial f (x_0 , y_0 , z_0)}{\partial l} = \lim_{P \to P_0} \dfrac {f (P) - f(P_0)}{|P_0 P|_s} \!

که در آن نقطهٔ P \! باید متعلق به \vec{l} \! باشد و |P_0 P|_s \! فاصهٔ علامت‌دار P_0 \! تا P \! است یعنی اگر \vec{P_0P} \! و \vec {l} \! هم‌جهت باشند |P_0 P| \! و در غیر این صورت - |P_0 P| \! در نظر گرفته می‌شود.

مشتق تابع برداری 

نوشتار اصلی: مشتق تابع برداری

مشتق تابع برداری f = \left (f_1 , f_2 , \ldots , f_n \right ) \! با فرض اینکه مؤلفه‌های سمت راست بامعنی باشند، به صورت زیر تعریف می‌شود:

f'(t) = \left (f'_1 (t) , f'_2 (t) , \ldots , f'_n (t) \right ) = \lim_{h \to 0} \frac {f (t + h) - f (t))}{h} \!

تابع f \! بر بازهٔ (a , b) \! پیوسته و مشتق‌پذیر است، هرگاه تک تک مؤلفه‌های f \! بر بازهٔ (a , b) \! پیوسته و مشتق‌پذیر باشند. با توجه به این تعریف، بسیاری از قضیای مشتق توابع حقیقی برای توابع برداری نیز صادق‌اند.

برای محاسبهٔ مشتق یک تابع برداری، می‌توان آن را برحسب مؤلفه‌های قائم خود، به صورت u_x = f (t) \! و u_y = g (t) \! نوشت و از هر کدام به طور جداگانه مشتق گرفت؛ یعنی اگر f'(t) \! و g'(t) \! وجود داشته باشند مشتق تابع برداری u \! به صورت زیر نوشته می‌شود:

u = xi + yj = f(t) i + g(t) j \; \Rightarrow \; \frac{\operatorname du}{\operatorname dt} = \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}i + \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}j = f'(t)i + g'(t)j \!

مشتق کل 

نوشتار اصلی: مشتق کل

هرگاه f \! تابعی از R^n \! به R^m \! باشد، آنگاه مشتق جهت‌دار f \! در یک جهت بخصوص، بهترین تقریب خطی f \! در آن نقطه و جهت است. اما هرگاه n > 1 \! باشد، دیگر مشتق جهت‌دار نمی‌تواند به تنهایی، تصویر کاملی از رفتار تابع نشان دهد. مشتق کل، که دیفرانسیل کل نیز نامیده می‌شود با در نظر گرفتن رفتار تابع در تمام جهت‌ها می‌تواند تصویر کاملی از رفتار تابع ارائه کند.

برخلاف مشتق جزئی، در محاسبهٔ مشتق کل تابع f (t , x , y) \! نسبت به متغیر t \!، متغیرهای دیگر ثابت در نظر گرفته نمی‌شوند بلکه به t \! بستگی خواهند داشت و مشتق کل به صورت زیر تعریف می‌شود:

\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}

مشتق کل در حساب دیفرانسیل با مفهومی مشابه، به یک عملگر دیفرانسیلی نیز گفته می‌شود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت x \! به صورت زیر محاسبه می‌کند:

\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}= \frac{\partial }{\partial x}+\sum_{j=1}^k \frac{\operatorname dy_j}{\operatorname dx}\frac{\partial }{\partial y_j}

مشتق تابع معکوس

مقایسۀ شیب خط مماس بر منحنی توابع f \! و f^{-1} \! در نقاط متناظر M \! و M' \!

اگر تابع f \! در همسایگی نقطهٔ a \! پیوسته و یک به یک بوده و f'(a) \! موجود و غیر صفر باشد، آنگاه تابع f^{-1} \! در نقطهٔ b = f (a) \! مشتق‌پذیر است و داریم:

\left (f^{-1} \right )' (b) = \cfrac{1}{f'(a)}

تعبیر هندسی: شیب خط مماس بر منحنی f^{-1} \! در نقطهٔ M' (b , a) \! برابر است با عکس شیب خط مماس بر منحنی f \! در نقطهٔ M (a , b) \!. (نقاط M \! و M' \! متناظر هستند)

از قضیهٔ مشتق تابع معکوس، روابط زیر را نیز خواهیم داشت:

\left (f^{-1} \right )' (x) = \cfrac{1}{f'_{\left (f^{-1} (x) \right )}} \qquad \left (f^{-1} \right )'_{\left (f (x) \right )} = \cfrac{1}{f'(x)}

مشتق مراتب بالاتر 

اگر تابع f \! روی بازهٔ I \! مشتق‌پذیر باشد تابع f' \! خود ممکن است در نقطه‌ای مثل a \! مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر f''(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(a + h) - f'(a)}{h} موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع f \! در a \! موجود است و آن را با f''(a) \! نمایش می‌دهیم.

مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. بطوریکه با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:

f^{(n)} (a) = \lim_{h \to 0}\frac{f^{(n - 1)} (a + h) - f^{(n - 1)} (a)}{h}

مشتق n‌ام چند تابع مهم 

مشتق n \!ام چند تابع مهم نسبت به x \! که a \! و b \! اعداد ثابت هستند:

y = \sin ax \; \Rightarrow \; y^{(n)} = a^{n} \sin (\dfrac{n \pi}{2} + ax)
y = \cos ax \; \Rightarrow \; y^{(n)} = a^{n} \cos (\dfrac{n \pi}{2} + ax)
y = \dfrac{1}{ax + b} \; \Rightarrow \; y^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n} \, n! \, a^{n}}{(ax + b)^{n + 1}}
y = (ax + b)^{n} \; \Rightarrow \; y^{(n)} = a^{n} \, n! \qquad (y^{(n + 1)} = 0)

قاعدهٔ لایبنیتس 

قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع f \! و g \! روی بازهٔ (a , b) \! دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ n \! باشند، آنگاه حاصل‌ضرب f.g \! نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ n \! است و داریم:

h (x) = f (x) g (x) \; \Rightarrow \; h^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \tbinom{n}{k} f^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x)

قضیهٔ رول 

نوشتار اصلی: قضیه رول

اگر تابع f \! روی [a , b] \! پیوسته، روی بازهٔ (a , b) \! مشتق‌پذیر و f (a) = f (b) \! باشد آنگاه حداقل یک نقطهٔ c \! در بازهٔ (a , b) \! وجود دارد که در آن f'(c) = 0 \! است. عدد c \! با خاصیت فوق منحصر به فرد نیست و باید یک نقطهٔ درونی بازهٔ (a , b) \! باشد.

نقاط c \! در قضیهٔ رول نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آن‌ها خطوط افقی است، یعنی قضیهٔ رول شرایط وجود مماس افقی را برآورد می‌کند.

نتیجهٔ قضیهٔ رول: اگر تابع f \! روی [a , b] \! پیوسته باشد و f (a) = f (b) \! آنگاه حداقل یک نقطهٔ اکسترمم نسبی در بازهٔ (a , b) \! وجود دارد.

حالت خاص قضیهٔ رول: اگر فرض کنیم f (a) = f (b) = 0 \! با استفاده از قضیهٔ رول می‌توان گفت که بین هر دو ریشهٔ تابع مشتق‌پذیر f \! مشتقِ تابع یعنی f' \! حداقل یک ریشه دارد.

قضیهٔ لاگرانژ 

نوشتار اصلی: قضیه مقدار میانگین

قضیهٔ لاگرانژ یا مقدار میانگین مشتق بیان می‌کند که هرگاه تابع f \! روی [a , b] \! پیوسته و روی بازهٔ (a , b) \! مشتق‌پذیر باشد، آنگاه حداقل یک نقطهٔ c \! در بازهٔ (a , b) \! وجود دارد که در آن:

f'(c) = \cfrac {f (b) - f (a)}{b - a} \!
  • تعبیر هندسی: قضیه بیان می‌کند که در بازهٔ (a , b) \! حداقل یک نقطه وجود دارد که مماس بر منحنی در آن نقطه به موازات خط واصل نقاط دو سر منحنی است.
  • تعبیر فیزیکی: اگر نمودار را مکان-زمان در نظر بگیریم و بازهٔ (a , b) \! بازهٔ زمانی باشد، قضیهٔ فوق می‌گوید، حداقل یک لحظه در بازهٔ (a , b) \! وجود دارد که سرعت لحظه‌ای با سرعت متوسط برابر می‌شود.
خط مماس بر منحنی (صورتی) در نقطۀ c \! با خط واصل نقاط دو سر منحنی (طوسی) موازی است.

قضیهٔ کوشی

نوشتار اصلی: قضیه کوشی

قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان می‌کند که هرگاه توابع f \! و g \! روی بازهٔ [a , b] \! پیوسته و روی بازهٔ (a , b) \! مشتق‌پذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطهٔ c \! در بازهٔ (a , b) \! وجود دارد که در آن:

\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} \!

کاربرد مشتق 

خط مماس و قائم 

مشتق به ازای مختصات نقطهٔ تماس برابر است با ضریب زاویهٔ خط مماس. پس برای تعیین شیب خط مماس یا قائم بر منحنی و تعیین معادلهٔ آن‌ها می‌توان از مشتق استفاده کرد.

خط مماس (سبز) و خط قائم (آبی) در نقطهٔ (x_{0} , y_{0}) \! واقع بر منحنی‌

معادلهٔ خط مماس در نقطهٔ (x_{0} , y_{0}) \! واقع بر منحنی:

\begin{cases}
    y - y_{0} = m (x - x_{0}) \\
    m = f'(x_{0})
\end{cases}

معادلهٔ خط قائم در نقطهٔ (x_{0} , y_{0}) \! واقع بر منحنی:

\begin{cases}
    y - y_{0} = m' (x - x_{0}) \\
    m' = \dfrac {-1}{m}
\end{cases}
خط مماس بر منحنی از نقطهٔ A (x_{0} , y_{0}) \! خارج از منحنی‌

معادلهٔ خط مماس بر منحنی از نقطه‌ای خارج از منحنی: اگر بخواهیم از نقطهٔ A (x_{0} , y_{0}) \! مماسی بر منحنی رسم کنیم، نقطهٔ تماس را M (a , f (a)) \! در نظر می‌گیریم، چون نقطهٔ M \! روی منحنی قرار گرفته از منحنی مشتق می‌گیریم و مختصات M \! را قرار می‌دهیم تا شیب معادله بدست آید.

\begin{cases}
    m = f'(a) \\
    y - f (a) = f'(a) (x - a)
\end{cases}

در نهایت چون نقطهٔ A (x_{0} , y_{0}) \! روی خط مماس قرار دارد، در معادلهٔ فوق قرار داده تا یک معادلهٔ یک مجهولی بر حسب a \! بدست آید.

آهنگ تغییر

نسبت تغییرات دو کمیت را آهنگ تغییر یکی نسبت به دیگری می‌گویند.

آهنگ تغییر متوسط 

آهنگ متوسط تغییرات f \! در فاصلهٔ [a , b] \! عبارت است از:

\frac {f (b) - f (a)}{b - a} \!

آهنگ متوسط تغییرات f \! نسبت به متغیر x \! عبارت است از:

\frac {\Delta f}{\Delta x} = \dfrac {f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x} = \dfrac {f (x_2) - f (x_1)}{x_2 - x_1} \!

آهنگ تغییر لحظه‌ای

اگر \Delta x \to 0 \! تغییرات f \! نسبت به تغییرات x \! را آهنگ آنی (لحظه‌ای) تغییر f \! نسبت به x \! گویند.

\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac {f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x} = f'(x) \!

کمیت‌های وابسته 

مؤلفه‌های عمودی و افقی سرعت، هر یک به زمان نیز بستگی دارند.

در برخی موارد دو کمیت (متغیر)، علاوه بر اینکه به هم مربوط‌اند، هر دو به متغیر سومی که معمولاً زمان است، بستگی دارند. در این موارد آهنگ تغییر این دو کمیت، نسبت به کمیت سوم در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، حد تغییرات مسافت پیموده شده به تغییرات زمانی را سرعت لحظه‌ای گویند:

\begin{align} V_x = \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} = x'_t \\ V_y = \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt} = y'_t \\ \end{align} \; \Bigg\} \; \Rightarrow \; V = \sqrt {V^2_x + V^2_y} = \sqrt {x^{'2}_t + y^{'2}_t}





قالب وبلاگ
m